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2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2012-06-20 19:40 【导读】一、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (1)若,则______,______. (2)函数由关系式确定,其中函数可微,且 ,则______. (3)设则_____. (4)二次型的秩为


一、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 若,则______,______.
(2) 函数由关系式确定,其中函数可微,且
,则______.
(3) 设 则_____.
(4) 二次型的秩为______.
(5) 设随机变量服从参数为的指数分布,则______.
(6) 设总体服从正态分布,总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简单随机样本,则
______.
二、选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(7) 函数在下列哪个区间内有界.
    (A)    (B)    (C)    (D)
(8) 设在内有定义,且, 则
(A)必是的第一类间断点   (B)必是的第二类间断点
(C)必是的连续点         (D)在点处的连续性与的值有关.
(9) 设,则
(A)是的极值点,但不是曲线的拐点
(B)不是的极值点,但是曲线的拐点
(C)是的极值点,且是曲线的拐点
(D)不是的极值点,也不是曲线的拐点
(10) 设有以下命题:
① 若收敛,则收敛
② 若收敛,则收敛
③ 若,则发散
④ 若收敛,则,都收敛
则以上命题中正确的是
(A)①②    (B)②③    (C)③④    (D)①④
(11) 设在上连续,且,则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点,使得
(B)至少存在一点,使得
(C)至少存在一点,使得
(D)至少存在一点,使得
(12) 设n阶矩阵与等价,则必有
(A)当时,    (B)当时,
(C)当时,           (D)当时,
(13) 设n阶矩阵的伴随矩阵,若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组的基础解系
(A)不存在                        (B)仅含一个非零解向量
(C)含有两个线性无关的解向量      (D)含有三个线性无关的解向量
(14) 设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,若,则等于
(A)      (B)     (C)     (D)
三、解答题:本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分8分)
求.
(16)(本题满分8分)
求,其中是由圆和所围成的平面区域(如图). 
                                     

                                                    
(17)(本题满分8分)
设在上连续,且满足
,,

证明:.
(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为,其中价格,为需求量.
    (Ⅰ)求需求量对价格的弹性;
    (Ⅱ)推导(其中为收益),并用弹性说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.
(19)(本题满分9分)
设级数的和函数为.求:
(Ⅰ)所满足的一阶微分方程;
    (Ⅱ)的表达式.
(20)(本题满分13分)
设,. 试讨论当为何值时,
    (Ⅰ)不能由线性表示;
    (Ⅱ)可由唯一地线性表示,并求出表示式;
    (Ⅲ)可由线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
(21)(本题满分13分)
设n阶矩阵.
    (Ⅰ)求的特征值和特征向量;
    (Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角矩阵.
(22)(本题满分13分)
设为两个随机事件,且,令        
求:(Ⅰ)二维随机变量的概率分布;
         (Ⅱ)与的相关系数;
         (Ⅲ)的概率分布.
(23)(本题满分13分)
设随机变量的分布函数为

其中参数. 设为来自总体的简单随机样本.
    (Ⅰ)当时,求未知参数的矩估计量;
    (Ⅱ)当时,求未知参数的最大似然估计量;
    (Ⅲ)当时,求未知参数的最大似然估计量.

 
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