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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2012-06-20 19:39 【导读】一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. (1) (2)设函数在的某邻域内可导,且,,则 (3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分 (4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩


一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.
(1) 
(2) 设函数在的某邻域内可导,且,,则
(3) 设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分
(4) 设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则    .
(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则_______.
(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则()
(A)  .                       (B)  .
(C)  .                       (D)   .               
(8) 设函数在处连续,且,则()
(A)  存在              (B) 存在
(C) 存在                (D)存在    
(9) 若级数收敛,则级数()
(A) 收敛 .                        (B)收敛.
(C) 收敛.                        (D)  收敛.           
(10) 设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数,则该方程的通解是()
(A) .                     (B) . 
(C) .                     (D)       
(11) 设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是()
(A) 若,则.     
(B) 若,则.  
(C) 若,则.   
(D) 若,则.                            
(12) 设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是()
(A) 若线性相关,则线性相关.     
(B) 若线性相关,则线性无关. 
(C) 若线性无关,则线性相关.   
(D) 若线性无关,则线性无关.            
(13) 设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则()
(A) .                            (B) .
(C) .                             (D) .         
(14) 设随机变量服从正态分布,随机变量服从正态分布,且

则必有()
(A)                                  (B) 
(C)                                  (D)         
三、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分7分)
 设,求:
(Ⅰ);
(Ⅱ)。
(16)(本题满分7分)
计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域。
(17)(本题满分10分)
 证明:当时,

(18)(本题满分8分)
 在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数)。
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值。
(19)(本题满分10分)
 求幂级数的收敛域及和函数。
(20)(本题满分13分)
设4维向量组
问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
(21)(本题满分13分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。
(Ⅰ)求的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得;
(Ⅲ)求及,其中为3阶单位矩阵。
(22)(本题满分13分)
设随机变量的概率密度为

令为二维随机变量的分布函数。
(Ⅰ)求的概率密度;
(Ⅱ);
(Ⅲ)。
(23)(本题满分13分)
设总体的概率密度为

其中是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数。
(Ⅰ)求的矩估计;
(Ⅱ)求的最大似然估计。














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